Fonctions numeriques

Appliqué aux fonctions

extension à \(\mathbb{R}\)

• \(f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)
• \(x \rightarrow f(x)\)
• \(f(x) = x^2 - 5x + 6\)
• \(f'(x) = 2x -5\)
• \(f''(x) = 2\)

Exemple

Si on connait \(f(0)\), on calcule le terme suivant avec la différence.

\(diff(f(0.01),f(0)) \iff croissance \iff vitesse \iff \frac{f(x + \epsilon) - f(x)}{\epsilon}\)

"vitesse" \(\lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{f(x + \epsilon) - f(x)}{\epsilon} = f'(x)\)

"accélération" \(\lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{f'(x + \epsilon) - f'(x)}{\epsilon} = f''(x)\)

Formules de dérivées

• \(f(x) = x^n\)
• \(f'(x) = nx^{n-1}\)
• \(g(x) = \frac{1}{x}\)
• \(g'(x) = -x^{-2}\)
• \(h(x) = a + b\)
• \(h'(x) = a' + b'\)
• \(m(x) = a * b\)
• \(m'(x) = a'b + b'a\)
• \(n(x) =\frac{a}{b}\)
• \(n'(x) = \frac{a'b - b'a}{b^2}\)
• \(l(x) = (g \circ f)\)
• \(l'(x) =f'(g) \times g'\)

Exemple 1 : Formule 1

\(v = 50 m/s\)

\(50m * 3600 = 5*36 km = 180 km/h\)

\(1000m \rightarrow 20s\)

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
v	50	52	54	56	58	60	62	64	66	68	70	72	70	68	66	64	62
Distance parcourue	0	50	102	156	212	270	330	392	456	522	590	660	732	802	870	946	1010

• continuer à accélérer. \(\times\)
• moins accélérer. \(\times\)
• ralentir : \(2m/s/s\) \(\times\)
• freiner : \(4m/s/s\) Aïe
• freiner à fond : \(8m/s/s\)

TP

• Ecrire un programme qui permet d'afficher, seconde après seconde, vitesse et distance parcourue en fonction d'une accélération donnée.

• Utiliser ces fonctions pour déterminer la décélération la meilleure.

Pour ce faire, nous allons utiliser les structures suivantes :

typedef struct instant{
    int tps;
    float acc;
    float speed;
    float dist;
}instant_t;

typedef struct vect{
    int nbval;
    instant_t* vec;
}vect_t

Utilité de la dérivée

• \(diff(i) = u_{i+1} -u_i\)
• \(\int u \Rightarrow \displaystyle\sum^n_{i=0} u_i\)
• \((u v)' = u'v + uv'\) utile pour connaitre la vitesse
• \(f(x) = 0\)
• \(f'(x_1) =0\)
• \(f'(x_2) = 0\)

Exemple 2

• \(TM\) = Temperature moyenne. \(\simeq 15\)°C
• \(TM(i)\) : pour l'année \(i\). \(\simeq 288\)K
• \(PPM\) (parties par million) et \(GES\) (gaz à effet de serre)
• \(78\)% Azote
• \(21\)% Oxygène
• \(TM\) dépend de \(PPM\)

Petite parenthèse

• fontes des glaces = \(\Rightarrow +43\)K
• micro organique océanique \(\Rightarrow +40\)K

  "Everything's gonna be alright" (from No woman no cry)

Exemple

Exprimer \(TM(i) / TM(i+1)\) en fonction de \(PPM(i)\)

• \(PPM(1880) = 280\)
• \(TM(1880) = 280\) K

donc

• \(TM(i) = \alpha*PPM(i) + Cte\)

\(\alpha <1\)

\(\alpha \simeq 10\)%

\(TM(i) = Cte + \frac{10 \times ppm(i)}{100}\)

\(288 = Cte + \frac{10 \times 280}{100}\)

\(Cte = 288 - \frac{10 \times 280}{100}\)

\(Cte = 260\)

• \(PPM(i+1) =PPM(i) + 3.5\)

\(TM(i+1) = TM(i)\)

• \(TM(i) = 260 + \frac{PPM(i)}{10}\)

• \(TM(i+1) = 260 + \frac{PPM(i+1)}{10}\)

\(=260 + \frac{PPM(i) + 3.5}{10}\)

\(= 260 + \frac{PPM(i)}{10} + 0.35\)

\(= TM(i) + 0.35\)

• Dérivée sur \(\mathbb{R}\) : \(TM'(x) = \frac{PPM'(x)}{10}\)

FORTRAN

• \(i\:j\:k\:l\:m\:n \rightarrow INT\)
• \(x\:y\:z\:h\:t \rightarrow FLOAT\)

Fonction / dérivée / dérivée seconde

• \(f \rightarrow f' \rightarrow f''\)

\(distance \leftarrow vitesse \leftarrow\)

Exemple : "Problème à 3 corps"

• Pas de solution analytique mais mathématique
• trois objet physique qui gravite tout autour qui ont une masse et une vitesse
• \(f(m_1,v_1,m_2...)\)
• algo de Runge Kutta 4

• \(temps = \alpha R^{3/2}\)

• \(Jupiter \simeq 40' \simeq \frac{2}{3} h \simeq \frac{2}{3 \times 24} j \frac{1}{36} j \simeq \frac{1}{10000} an \frac{1}{36 \times 365} an\)

• \(\sqrt{5000} = 10 \sqrt{50} \simeq 70 \Rightarrow 70 \times 5000 \times 80 \;ans \Rightarrow 28000000 \;ans\)

Dessiner une courbe à partir d'une fonction

• Utiliser un 'plotteur' (outil permettant d'interpréter une fonction en graphe en latex)

Fonction exponentielle et logarithmique

Propriétés

Formules de dérivées

• \(f(x) = exp(x) = e^x\)
• \(f'(x) = e^x\)
• \(e^{log(x)} = log \; e^x = x\)
• \(log(a \times b) = log(a) + log(b)\)
• \(log(a^n) = n \; log(a)\)
• \(ln_10(10^x) = x\)
• \(ln_2(2^x) = x\)
• \(cos' = -sin\)
• \(sin' = cos\)

Graphe \(exp(x)\) et \(log(x)\)

Exercice sur la dérivation

• \(f_1(x) = 4x^3 - 5x^2 + x - 1\)

Correction

\(f_1'(x) = 12x^2 - 10 x + 1\)

---

• \(f_2(x) = (x^2 + 1)(x^3 -2x)\)

Correction

\(f_2(x) = u \times v\) avec

• \(u =x^2 + 1\)
• \(u' =2x\)
• \(v = x^3 -2x\)
• \(v' =3x^2 -2\)

Donc

\(f_2'(x) = u'v + uv' = 2x(x^3 -2x) + (x^2 + 1)(3x^2 -2)\)

\(= 2x^4 -4x^2 + 3x^4-2x^2 + 3x^2 -2\)

\(= 5x^4 -3x^2 -2\)

---

• \(f_3(x) = \frac{2x^2 -3}{x^2 + 7}\)

Correction

\(f_3(x) = \frac{u}{v}\) avec

• \(u=2x^2 -3\)
• \(u'=4x\)
• \(v=x^2 + 7\)
• \(v'=2x\)

Donc

\(f_3'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2}=\frac{4x(x^2 +7) -(2x^2 -3) \times 2x}{(x^2+7)}\)

---

• \(f_4(x) = 5x^3 - \frac{1}{x} + 3 \sqrt{x}\)

Correction

\(f_4(x) =u +v+w\) avec

• \(u= 5x^3\)
• \(u'=15x^2\)
• \(v=\frac{1}{x}\)
• \(v'=-\frac{1}{x^2}\)
• \(w=r \times s\) avec
• \(r=3; r'=0;s=\sqrt{x};s'=\frac{1}{2 \sqrt{x}}\)
• donc \(w'=r's +rs' = 0 \times \sqrt{x} + 3 \times \frac{1}{2 \sqrt{x}} = \frac{3}{2 \sqrt{x}}\)

Donc

\(f_4'(x) =u'+v'+w' =15x^2 - \frac{1}{x^2} + \frac{3}{2 \sqrt{x}}\)

---

• \(f_5(x) = \frac{1}{x+x^2}\)

Correction

\(f_5(x)=\frac{1}{u}\) avec

• \(u=x+x^2\)

Donc

\(f_5'(x)=- \frac{1}{u^2} = - \frac{1}{(x+x^2)^2}\)