Les fonctions

Fonction Partielle

Definition

Une fonction est type de relation, dans lequel un élément de départ a AU PLUS une relation dans l'ensemble d'arrivée.

Autrement dit:

\(\forall x \in A ; (I_x = \{y; f(x) = y\}) \wedge |I_x| \leq 1\)

Domaine de définition d'une fonction

Définition

Soit \(X\) l'ensemble de départ, et \(Y\) l'ensemble d'arrivée.

Le domaine de définition d'une fonction est l'ensemble des éléments de \(X\) qui ont une image dans \(Y\)

• \(Domaine(f) = \{x; |I_x|=1\}\)

L'image

• d'une variable :

  \(image(x) = y \iff f(x) = y\)

• d'un ensemble :

  \(image(A) = \{y; \exists x \in A \wedge f(x) = y \}\)

Egalité entre deux fonctions

Définition

2 fonctions \(f\) et \(g\) sont égales si :

• Elles ont le même domaine de définition :

  \(Domaine(f) = Domaine(g)\)

• \(\forall x \in Domaine, f(x) = g(x)\)

Exemple

\(f(x) = \frac{(x-3) \times (x^2 -2x +1)}{x-3}\)

\(g(x) = (x - 1)^2\)

• \(f\) et \(g\) sont-elles égales ?

Réponse

\(Domaine(f) = \mathbb{R}\) \(\{3\}\)

\(Domaine(g) = \mathbb{R}\)

Conclusion : \(f\) et \(g\) ne sont pas égales.

Application

Définition

Une application est un cas spécifique de fonction qui associe à chaque valeur de l'ensemble de départ une valeur dans l'ensemble d'arrivée. ( Tous les \(x\) ont une image par \(f\) )

Une application de \(A\) vers \(B\) se note \(f: A \rightarrow B\).

L'ensemble des applications de \(A\) vers \(B\) se note \(B^A\).

\(Domaine(f) = A\)

Exemple

• \(X = \{0,1,2,3\}\)
• \(Y = \{a,b,c\}\)
• \(G_f = \{(0,a),(1,c),(3,a)\} \subseteq X \times Y\)

\(f\) est une fonction mais pas une application car \(2 \in X\) n'a pas d'image

Composition de fonctions

Définition

\((f \circ g)(x) = f(g(x))\)

Chaîne d'application

Si:

• \(x \in A\)
• \(f : A \rightarrow B\)
• \(g : B \rightarrow C\)

Alors:

• \(g \circ f : A \rightarrow C\)
• \((g \circ f)(x) = g(f(x))\)

Exemple

• \(g(x) = x+4\)
• \(h(x) = x^2 -x\)

Questions

1. Exprimer \(h(g(x))\) et calculer \(h(g(2))\).
2. Expimer \(g(h(x))\) et calculer \(g(h(2))\).

Reponses

Réponses

1. \(h(g(x)) = (x+4)^2 - (x+4)\)

   \(h(g(2)) = 30\)

2. \(g(h(x)) = (x^2 - x) + 4\)

   \(g(h(2)) = 6\)

Injection

Définition

Une injection est une application.

Pour que ce soit une injection il faut que chaque élément de l'ensemble d'arrivée ai AU PLUS 1 antécédent.

\(\forall x \in B ; \forall a,b \in A ; f(a) == x \wedge f(b) == x => a == b\)

Exemple

\(f(x) = x^2\)

\(\mathbb{N}\) injection

\(\mathbb{Z}\) ¬injection

\(\mathbb{R}\) ¬injection

Surjection

Définition

Une Surjection est une application.

Pour que ce soit une surjection, il faut que chaque élément de l'ensemble d'arrivée ai AU MOINS 1 antécédent.

\(\forall x \in B ; \exists a \in A ; f(a)==x\)

Bijection

Définition

Une bijection est une application.

Pour que ce soit une Bijection il faut que ce soit à la fois une injection et une surjection.

C'est à dire qu'il existe UN ET UN SEUL antécédent par élément d'arrivée.

\(\forall x \in B; \exists!a \in A; f(a)==x\)

5	20	26
4	14	19	25
3	9	13	18	24
2	5	8	12	17	23
1	2	4	7	11	16	22
0	0	1	3	6	10	15	21
	0	1	2	3	4	5	6

Propriétés

\(\mathbb{N \times N} \rightarrow \mathbb{N}\)

\((a,b) \rightarrow f(a,b)\)

Bijection

\(|\mathbb{N \times N}| == |\mathbb{N}|\)

c'est impossible sur \(\mathbb{R}\)

\(|\mathbb{R \times R}| \neq |\mathbb{R}|\)

\(|\mathbb{R \times R}| == |\mathbb{C}|\)

Fonctions identité

Définition

• si \(f\) est une bijection \(\exists g ,f \circ g = g \circ f = Id\)
• \(g\) peut s'écrire \(f^{-1}\)

Exemples

1. • \(f(x) = 3x +2\)
   • \(g(y) = \frac{y - 2}{3}\)
2. • \(f(g(y)) = 3 (\frac{y-2}{3}) +2 = (y-2) +2 = y\)
   • \(g(f(x)) = \frac{(3x +2) -2}{3} =\frac{3x + 2 -2}{3} = x\)
3. • \(\mathbb{R}+ \rightarrow \mathbb{R}+\)
   • \(f(x) = \sqrt{x}\)
   • \(g(y) = y^2\)
4. • \(f(x)= cos(x)\)
   • \(g(y) = arccos(y)\)

Fonctions caractéristiques

Définition

• Soit \(E\) et \(D \subset E\)
• \(f:\) fonction caractéristique de \(D\)
• \(\forall x \in E,\)
  • \(f(x) = 1\) si \(x \in D\)
  • \(f(x) = 0\) sinon

Exemple pour \(D \subset E\) avec \(E = \mathbb{R}\) et \(D = \mathbb{R}^+\)

int fctcar(long double x){
    if (x>=0.0){
        return 1;
    }
    return 0;
}

Image

• \(f : E \rightarrow F\)
• \(A \subset E\)
• \(G = \{y; \exists x, (x \in A) \wedge f(x) = y\}\)
• \(G = f(A)\)

Image Réciproque

image réciproque = ensemble de départ

• \(f : E \rightarrow F\)
• \(B \subset F\)
• \(G = \{x; \exists y, (y \in B) \wedge (f(x)=y)\}\)
• \(G = f^{-1}(B)\) (c'est abusif)

Exemples

• \(\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)

Carré

• \(f(x) = x^2\)

• \(G = f(\mathbb{R}) = \mathbb{R}^+\)

Cosinus

• \(f(x) = cos(x)\)
• \(G = f(\mathbb{R}) = [-1,1]\)

Image Réciproque \(f^{-1}(\mathbb{R}^+) = \mathbb{R} \subset \mathbb{R}\) \(f^{-1}([-1,1]) = \mathbb{R}\)

Tangente

• \(f(x) = tan(x) = \frac{sin(x)}{cos(y)}\)
• \(G = tan(\mathbb{R}) = \mathbb{R}\)

Parties d'un ensemble

• \(E,R\)
• \(P(E) = \{x; x \subset E\}\)

• \(E\) discret, dénombrable (ex : \(\mathbb{N}\)... mais pas \(\mathbb{R}\))

• \(f : E \rightarrow F\)

• \(f\) induit application de \(P(E)\) vers \(P(F)\)

card(E)	card(P(E))	nb\(\emptyset\)	nb1	nb2	nb3	nb4	nb5
0	1	1
1	2	1	1
2	4	1	2	1
3	8	1	3	3	1
4	16	1	4	6	4	1
5	32	1	5	10	10	5	1