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Ensembles

Quantificateurs

1. Universel

Pour tout (\(\forall\))

définition

est vrai pour toutes les valeur

Exemple
  • \(A = \forall x \in \mathbb{N}; pair(x)\) est faux
  • \(B = \forall x \in \mathbb{N}; pair(x) \vee impair(x)\) est vrai
  • \(C = \forall x \in \mathbb{R}; pair (x) \vee impair(x)\) est faux

2. Existenciel

Il existe (\(\exists\))

définition

est vrai pour au moins une valeur de la variable qui suit

Il existe une et une seule valeur (\(\exists!\))

Définition

est vrai pour seulement une valeur de la variable qui suit

Exemple

\(D = \forall x \in \mathbb{N}; \exists y \in \mathbb{N} \wedge y > x \wedge est\_premier(y)\)

Signification : Quel que soit l'entier naturel \(x\), il existe un nombre premier \(y\) qui est plus grand que lui (vrai)

Inclusion (\(\subset\))

Définition

Un ensemble \(A\) est inclus dans \(B\) si et seulement si tout les éléments de \(A\) sont aussi dans \(B\)

Exemple

Vrai :

  • \(A = \{1, 2, 3\}\)
  • \(B = \mathbb{N}\)
  • \(A \subset B \iff (\forall x, x \in A \Rightarrow x \in B)\)

Faux :

  • \(A = \{x; x \in \mathbb{N} \wedge est\_premier(x) \wedge x > 2\}\)
  • \(B = \{x; x \in \mathbb{N} \wedge impair(x) \}\)
Autres exemples
  • \([3,5[ \subset [1,6]\) vrai
  • \(]3,5[ \subset [3,5]\) vrai
  • \([3,5] \subset ]3,6[\) faux
  • \([-3,5[ \subset [0,1]\) faux
  • \(]-\infty,5[ \subset ]-\infty,5]\) vrai
  • \(]-6,2] \subset ]-3,+\infty[\) faux
  • \(]-\infty, -1] \cap [3, +\infty[ = \{\} = \emptyset\)
  • \(]0,6] \cap [0,+\infty[ = \{1,2,3,4,5,6\}\)

Symboles libres ou liées

Symbole lié

Définition

Un symbole lié est un nombre qui revient plusieurs fois dans une expression logique (comme \(x\) dans les exemples précédents)

Une assertion contenant des symboles liés a une valeur de vérité (vraie ou fausse).

Symbole libre

Définition

Un symbole libre est un symbole qui est fixé à l'extérieur de l'expression logique, l'expression logique dépend de ses symboles libre mais eux sont indépendants d'elle.

Une assertion contenant au moins un symbole libre n'a pas de valeur de vérité.

Exemple:

\(A_y = \{n; n \in \mathbb{N} \wedge x < y\}\)

Signification : sachant \(y\), l'ensemble A inclus tous les nombre entiers naturels qui sont plus petits que \(y\).

Couples / Tuples

Définition

Un couple (ou un tuple) est un regroupement de 2 variables logiques, elle sont générallement groupé parce que c'est pratique pour le problème donné (ex : coordonées sur le plan)

Pour former des couples à partir de deux ensembles on utilise la notation suivante: \(A \times B = \{(x, y); x \in A \wedge y \in B\}\) \(\neq\) \(B \times A\)

Exemple
  • \(A = \{x, y, z\}\)
  • \(B = \{1, 2, 3, 4\}\)
  • \(A \times B = \{(x,1),(x,2),(x,3),(x,4),(y,1),(y,2),(y,3),(y,4),(z,1),(z,2),(z,3),(z,4)\}\)
Remarque

Attention

L'ordre est significatif.

\((x, y) \neq (y, x)\)

Exemple

\((latitude, longitude) \neq (longitude, latitude)\)

Pointe vers 2 endroits défférents du plan

Simplifications

  • \(n \in \mathbb{N} \Rightarrow [n] = \{1, 2, 3, 4 ... n\}\)

  • \(a \leqslant b \leqslant c \Rightarrow (a \leqslant b) \wedge (b \leqslant c)\)

  • \(\forall x \in A, P\) signifie \(\forall x; x \in A \Rightarrow P\)

  • \(\exists x \in A, P\) signifie \(\exists x, x \in A \wedge P\)

Intervalles

  • \(a, b \in \mathbb{R} \Rightarrow [a, b] = \{n; a \leqslant n \leqslant b\}\)
  • \(a, b \in \mathbb{R} \Rightarrow ]a, b[ = \{n; a < x < b\}\)
  • \(a, b \in \mathbb{R} \Rightarrow ]a, b] = \{n; a < n \leqslant b\}\)
  • \(a, b \in \mathbb{R} \Rightarrow [a, b[ = \{n; a \leqslant n < b\}\)
Exemple

\(A = \{(x,y); (x+3 = y) \cap (x \in \mathbb{Z}) \cap (x > -5) \cap (x< 4)\}\)

\(A = \{(-4,-1),(-3,0),(-2,1),(-1,2),(0,3),(1,4),(2,5),(3,6)\}\)

Parties d'un ensemble

Définition

C'est comme si on imaginait tous les groupe d'élément que l'on peut faire avec les éléments d'un ensemble.

Si \(A\) est un ensemble, alors \(P(A) = \{ensemble \: des \: parties \: de \: A\}\)

Exemples
  • \(A = \{1\}\)

\(P(A) = \{\emptyset, \{1\}\}\)

\(|P(A)| = 2\)

  • \(B = \{1,2\}\)

\(P(B) = \{\emptyset, \{1\},\{2\},\{1,2\}\}\)

\(|P(B)| = 4\)

  • \(C = \{1,2,3\}\)

\(P(C) = \{\emptyset, \{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}\)

\(|P(C)| = 8\)

Donc :

\(|P_n| = 2^n\)

Exercices

Vrai ou Faux

\(A = \{1,4,7,8,9\}\)

\(B = \{8,9,10\}\)

  • \(\forall x \in A \wedge x<10\)
  • \(\forall x \in A \wedge \forall y \in B \wedge x<y\)
  • Enumerer : \(\{y; y \in A \wedge(\forall x \in B, y<x)\}\)
  • \(\forall x \in A, \exists y \in B, x < y\)
  • \(\forall x \in A, \exists y \in B, y < x\)
  • \(\exists y \in B, \forall x \in A, x<y\)
Réponses
  • \(\forall x \in A \wedge x<10\) est vrai
  • \(\forall x \in A \wedge \forall y \in B \wedge x<y\) est faux (contre-exemple : \(x=8,y=8 \Rightarrow x=y\))
  • Enumerer : \(\{y; y \in A \wedge(\forall x \in B, y<x)\} = \{1,4,7\}\)
  • \(\forall x \in A, \exists y \in B, x < y\) est vrai
  • \(\forall x \in A, \exists y \in B, y < x\) est faux
  • \(\exists y \in B, \forall x \in A, x<y\) est vrai

Traduction phrases en expressions mathématiques

  1. \(\mathbb{N}\) est inclus dans \(\mathbb{Z}\).
  2. Tout nombre entier different de \(-1\) et \(+1\) est divisible par un nombre premier (on notera \(P\) l'ensemble des nombres premiers).
  3. \(0\) est plus petit que n'importe quel entier non nul.
Réponses
  1. \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \iff \forall x \in \mathbb{N},x \in \mathbb{Z}\)
  2. \(\forall x \neq 1 \wedge x \neq -1 \wedge x \in \mathbb{Z} \wedge \exists y ; y \in \mathbb{P} \wedge x \% y == 0\)
  3. \(\forall x \in \mathbb{N}^* 0 < x\)